Em resistência dos materiais, as metodologias analíticas para cálculos de tensão e deslocamento possuem uma gama de aplicação muito restrita, ou seja, estamos falando de problemas que se limitam a geometrias simples, condições de carregamentos simples e materiais isotrópicos, por exemplo. Porém, no dia a dia da engenharia estrutural, geralmente encontramos problemas com geometrias complexas, condições de carregamentos nada triviais e materiais que podem ser anisotrópicos, o que nos impossibilita de usarmos métodos analíticos clássicos. Dessa forma, somos obrigados a calcular as tensões, deformações e deslocamentos das estruturas usando método numéricos (ou comumente chamado de simulação).
O método de elementos finitos (MEF) é apenas um dos métodos numéricos que existem, porém ele é o mais conhecido e aplicado por ser muito difundido e muito bem validado. Porém, para fazermos o bom uso de softwares de elementos finitos (simulação numérico) devemos entender minimamente o que não vemos, ou seja, o que ele está resolvendo. E, hoje, falaremos sobre convergência de malha.
Caro leitor, para chegar aonde quero, preciso primeiro desenvolver o seguinte raciocínio com você: por que o nome elementos finitos?
O nome Elementos Finitos se dá porque estamos dividindo uma geometria (que é definida por infinitos pontos) em um número FINITO de ELEMENTOS (formas geométricas) conhecidas. Esses elementos geralmente têm formas triangulares ou quadradas, pois são formas geométricas que podemos calcular facilmente de forma numérica. Por exemplo, como podemos calcular a área de um círculo caso não soubermos calcular diretamente usando a fórmula analítica para isso? Podemos dividir o círculo em um número finito de elemento triangulares, conforme é mostrado na figura abaixo. Observe que à medida que aumentamos o número de triângulos, vamos nos aproximando cada vez mais de uma forma geométrica circula (onde n = 24).
Mas aonde eu quero chegar? Pois bem, você deve ter percebido que para calcular a área de um círculo corretamente, precisamos dividir a sua forma geométrica muitas vezes, ou seja, usar diversos elementos triangulares de tamanho pequeno para, finalmente, calcular a área de cada elemento triangular e somar tudo isso. E, para elementos finitos, isso não é diferente, porém usamos esse conceito para aproximar a rigidez estrutural, as deformações e as tensões.
Por exemplo, para análise estática linear resolvemos a seguinte equação linear:
Sendo {F} a força nodal (força que aplicamos no software), [K] a rigidez estrutural que o software irá construir e, por fim, {u} os deslocamentos nodais (aqueles que vemos nos resultados do software).
As funções de interpolação, ou seja, as equações responsáveis pelos elementos, são utilizadas para construir a rigidez [K]. Mas, também, são utilizadas em [B] (matriz de deformação-deslocamento) para encontrar as deformações nos elementos (derivadas do deslocamento), conforme equação abaixo:
Aonde eu quero chegar: analogamente ao cálculo de área, as tensões e deformações são dependentes do número de elementos que estamos utilizando para construir a MALHA do nosso modelo de elementos finitos. Por esse motivo, o processo de convergência de malha é imprescindível, ou seja, devemos diminuir o tamanho da malha para que tenhamos a certeza de que o problema está sendo calculando corretamente, ou seja, convergindo para o valor esperado.
Para entender vamos usar o seguinte exemplo:
Essa é a tensão de flexão esperada para a viga engastada acima.
Vamos agora fazer o mesmo cálculo utilizando método dos elementos finitos. Veja na imagem abaixo o processo de convergência de malha. Em (a) foi utilizado uma malha muito grande, ou seja, um pequeno número de elementos para representar a viga. Vejam que no mesmo (a) o valor de tensão encontrado é de 42,27 MPa e, obviamente, está muito longe do valor de 76,8 MPa calculado analiticamente. Entretanto, à medida que formos refinando a malha, ou seja, aumentando o número de elementos, o valor de tensão aumenta. Em (b) obteve-se um valor de 61,95 MPa, em (c) de 70,99 MPa, em (d) de 73,81 MPa e, finalmente, em (e) de 77,14 MPa.
Por isso, a malha é um passo imprescindível para quem usa uma ferramenta computacional de simulação numérica. Ela é, também, um dos passos que mais gera dúvidas em usuários que estão iniciando sua jornada em simulação numérica, porém, como vimos acima, é uma etapa que pode ser muito bem controlada desde que tenhamos o conhecimento de como ela afeta os resultados.
Continuem acompanhando nossos posts aqui no blog, ou se desejar, também poderá entrar em contato conosco. Vamos ter o prazer de o ajudar a descobrir como a simulação numérica vai o impulsionar para vencer seus desafios.
